El infinito es un concepto muy abstracto en el área de las matemáticas. Empezaremos citando algunos conjuntos infinitos: los números naturales N=1,2,3,4,5,…; los números enteros Z=…,-2,-1,0,1,2,…; y otros muchos conjuntos que conocemos. Pero, ¿todos los infinitos son iguales? Veamos la siguiente pregunta: ¿es más grande el conjunto de los cuadrados perfectos 1,4,9,16,25,..o los naturales. A simple vista, nos parece que el conjunto de los naturales es más grande que el conjunto de los cuadrados perfectos porque parece ser que los naturales “engloba” a los cuadrados perfectos. Sin embargo, eso no es cierto.
Vamos a empezar por un problema muy famoso y que nos puede servir de introducción al infinito: el hotel de Hilbert. El problema consiste en que hay un hotel de infinitas habitaciones y suponemos que todas las habitaciones están llenas. Diez minutos más tarde, llega un nuevo cliente y aquí viene el problema: ¿cómo le metemos? Pues esto tiene una solución muy simple, enumeramos todas la habitaciones y le decimos al ocupante de la habitación n se vaya a la habitación n+1. De esta forma, quedará la habitación 1 libre, tal que así, donde la C es el nuevo cliente:
Media hora más tarde, viene un autocar con infinitas personas, ¿y ahora qué hacemos? Aunque es un poco más complicado, lo podemos conseguir igualmente. Solo tenemos que decir al ocupante de la habitación n que se vaya 2n. De esta manera, las habitaciones impares quedarán ocupados y las habitaciones impares estarán libres para los pasajeros del autocar tal que así:
Y de aquí nos surge otra duda, ¿cómo ha sido posible meter infinitas personas en un hotel que ya tenía infinitas personas? ¡Lo que nos está diciendo que hemos metidos dos infinitos en un infinito! Georg Cantor, un matemático ruso fue el primero al que llegó a la conclusión de que todos los infinitos son iguales aunque no tardó mucho en descubrir que eso no es verdad. Seguramente os estáis preguntando ¿pero entonces hay infinitos más grandes que otros o no?
La respuesta es que sí, pero no todos los conjuntos que creéis que son más grandes que otros es más grande en realidad. Volvamos a la pregunta que os planteé al principio del artículo. Con todo lo que hemos hecho antes, sabemos que dos conjuntos son iguales si es posible encontrar una forma de relacionar todos los elementos de un conjunto con el otro y que no sobre ni falte ninguno. Para demostrar que el conjunto de los naturales es igual al conjunto de los cuadrados perfectos solo tenemos que relacionar el número con su cuadrado, tal que así:
1-1;2-4;3-9;4-16;5-25;… Como se puede ver, si nos da un número natural lo podemos transformar en su cuadrado correspondiente y lo mismo pasa si nos da un cuadrado perfecto, que también podemos encontrar su número natural correspondiente.
Para ir un poco más allá, vamos a comparar infinitos geométricos: ¿Qué segmento tiene más puntos?
A simple vista nos parece que el segmento más largo tiene más puntos, pero vamos a demostrar con la forma de corresponder un conjunto con el otro, de esta manera:
Como se puede ver en el dibujo, si elegimos un punto cualquiera en el segmento corto, podemos encontrar un correspondiente en el segmento largo, y lo mismo pasa con el segmento largo. Así, no queda ni falta ningún punto por corresponder, por lo tanto, podemos decir que los dos segmentos tiene el mismo número de puntos.
Esto es el maravilloso mundo de las matemáticas, solo quiero que sepáis que las matemáticas pueden ser muy divertidas.
Shenghao Zhang
4ºB ESO