1- LA PREHISTORIA

Todos los pueblos han dirigió sus esfuerzo al estudio de las Matemáticas. El inicio de las matemáticas es similar al lenguaje y al arte.

Imagen: el hueso de Ishango, datado en el paleolítico superior, hace 35.000 años, es uno de los primeros artilugios contables de la historia humana | Vía Hueso de Ishango.

En un interesante artículo titulado “Prehistoria de la matemática y mente moderna: pensamiento matemático y recursividad en el Paleolítico franco-cantábrico” en el que han colaborado el Departamento de Álgebra, el Departamento de Psicobiología y el Departamento de Didáctica de las Ciencias Experimentales de la Universidad Complutense de Madrid se aborda de forma general el origen del pensamiento matemático humano a través de los registros simbólicos descubiertos. El artículo también destaca la importancia, poco valorada, de las piezas contables paleolíticas encontradas en la región franco-cantábrica y ha sido publicado en el volumen nº 30 de la revista Dynamis, que publica todos sus artículos con acceso libre tanto de lectura como de descarga.

Los dólmenes cuentan con un esqueleto, una estructura de grandes piedras que delimita el espacio propiamente funerario


Resumen del artículo

En este artículo, en primer lugar, se repasan de forma general distintos tipos de registros simbólicos realizados por los grupos prehistóricos desde los más remotos y probables orígenes de la mente humana moderna. A continuación, se revisan algunas de las más destacadas piezas de la Prehistoria relacionadas con el registro matemático, destacando la importancia (por cantidad y calidad), no suficientemente valorada, de las piezas de este tipo de la región franco-cantábrica. La información anterior, finalmente, nos da pie a destacar la tremenda importancia en este contexto de cuatro plaquitas de hueso hioides de caballo de la Cueva de Altamira, datadas en el Solutrense Superior (c. 18.500 años). Estas plaquitas, al ser un conjunto coherente de elementos interrelacionados, se proponen aquí como la representación de una recursividad, cualidad ésta que se ha considerado como propia y exclusiva del lenguaje humano.
Palabras clave: Matemática, Paleolítico, Prehistoria, pensamiento, recursividad.

El soporte material del pensamiento matemático
Parece que la mente humana actual, , pudo tener su origen un tiempo después del surgimiento de nuestra especie desde el punto de vista anatómico. Se discute si surgió en África hace unos 100.000 años o si fue en Europa hace apenas 40.000. Lo que sí parece estar claro, por las características de las herramientas y otros parámetros, es que en el momento en el que situamos el origen de nuestra especie por sus características anatómicas, nuestras capacidades cognitivas no debieron ser muy distintas de las del hombre de Neandertal.

Para valorar todo esto tenemos que considerar:
• El arte figurativo
• Las inhumaciones con aparato funerario
• El adorno corporal
• Los instrumentos musicales
• Las marcas (lineales, puntuadas, etc.) Es a éste último grupo de manifestaciones, muchas veces conocidas como “marcas de caza”, a las que pertenecen los que probablemente sean los primeros registros contables de la historia de la humanidad.

Destacamos algunos hallazgos:
• En la cueva de Ko-zarnika (Bulgaria), dejados por Neandertales, placas de hueso con diversas muescas lineales. Parece que fueron fruto de una situación fortuita y no deliberada, como es la de descarnar el hueso con una herramienta lítica.

Placa de Kozarnika

• La supuesta flauta Neandertal de la cueva de Divje Babe, en Eslove-nia, es otro ejemplo similar. Su origen es fortuito, de manera que los dos orificios alineados que nos hacen creer que nos hallamos ante un instrumento musical han resultado ser las huellas de los incisivos de un carnívoro.
• La producción deliberada de marcas no se reconoce como tal por la mayoría de la comunidad científica hasta los hallazgos de la cueva sudafricana de Blombos, donde se encontraron unas incisiones geométricas en una pieza de ocre de más de 77.000 años de antigüedad.

Grabados de Blombos I

Recientes hallazgos de la misma cueva 6, nos hablan de manifestaciones similares con más de 100.000 años de antigüedad.

Grabados de Blombos II


No todas las marcas deliberadas tienen por qué representar registros contables.
La visión estándar actual sitúa el origen de la escritura en Mesopotamia. Las razones son:
• Una continuidad desde los pictogramas hasta las formas que conocemos hoy en día, estando plenamente comprobados unos estadios intermedios de uso registrado de ideogramas que se concretan después en una escritura cuneiforme.
• El origen escrito de lo que asumimos como registro matemático de esta civilización, basada en una continuidad análoga desde sistemas de numeración material, como los guijarros de barro sumerios o elamitas, a formas impresas, incisas o escritas sobre tablillas, que también conducirían a sistemas de numeración cuneiformes.
• Encontramos un singular recurso a la base 60, de muy remota relación con la peculiaridad anatómica de los diez dedos que tenemos los primates entre las dos manos)

La continuidad en el registro matemático que mejor queda atestiguada es más bien el tránsito desde el recurso a las muescas hasta los sistemas de numeración escritos; continuidad que podemos constatar en los primeros sistemas de numeración de la práctica totalidad de las antiguas civilizaciones: egipcios, minoicos, helenos pre-alfabéticos, chinos, pueblos itálicos (romanos, etruscos) e hindúes.
Es muy probable, pues, que los primeros registros contables se dieran efectivamente en forma de muescas.
Este es el caso de las tarjas, tablillas de madera u otro material en las que se realizaban muescas para anotar y registrar cantidades referidas a objetos u otro tipo de unidades producto, generalmente, del intercambio, y que se han estado utilizando hasta el presente en numerosas regiones del mundo.
Diferentes tribus de bosquimanos del suroeste de África (Namibia) continúan utilizando hoy en día bastones-calendario de madera. Los bosquimanos son considerados hoy día la tribu más antigua del mundo desde el punto de vista genético.

En España, destaca el recurso a las tarjas hasta tiempos muy recientes, por ejemplo, en zonas de la provincia de Salamanca, mientras en la historiografía se destaca el uso de tarjas por parte de la Oficina del Tesoro del Reino Unido hasta bien entrado el siglo XIX.
Por tanto algunos casos de muescas o marcas deliberadas sí serían manifestaciones evidentes de un registro contable. Sin embargo, también debe constatarse que esta afirmación no es válida para todos los materiales en los que existen muescas, grabados o dibujos. Por este motivo, creemos que hay que ser muy cautos a la hora de defender el uso contable de un hallazgo paleolítico. Sólo en aquellos casos en los que se observen determinadas combinaciones, agrupaciones o patrones específicos podremos afirmar con un cierto grado de verosimilitud que nos encontramos ante un registro contable y, por tanto, ante una huella fósil de un pensamiento matemático. Aplicando este criterio, observaremos que las primeras muestras relativamente evidentes de pensamiento matemático pertenecen a épocas más bien recientes de la historia de la humanidad, concretamente al Paleolítico superior (35.000-10.000 BP) o, a lo sumo, a épocas inmediatamente anteriores.

Registro simbólico e historia de la matemática

Las colecciones de registros que más interés han presentado para el arqueólogo matemático han sido las que reúnen ±30 marcas.
Este número se relaciona con el ciclo de la luna y con el ciclo menstrual de la mujer.

Todo el conjunto está delimitado por otro de cien metros de diámetro y precedido de una avenida que conducía a él. En este caso parece que la función astronómica-religiosa está probada.

La visión estándar en historia de la matemáticas

Hueso de Dolni Vestonice

La primera pieza a la que se han venido refiriendo los historiadores de la matemática es un hueso de lobo de unos 35.000 años, encontrado en Dolni Vestonice (Moravia, República Checa), donde también se descubrió una cabeza de mujer esculpida en marfil.
En el hueso, de unos 18 centímetros de largo, se encuentran 55 muescas. En la primera descripción presentada por Karl Absolom el 2 de octubre de 1937 en London Illustrated, las marcas se consideraban agrupadas de cinco en cinco y separadas por dos trazos intermedios más largos en dos series, una de 30 ( = 6×5) muescas, y otra de 25 ( = 5 x 5).

Ifrah, ha venido a considerarlo “una especie de “herramienta aritmética” que contiene una representación gráfica de los primeros números impares, así como una disposición que permite hallar rápidamente algunas propiedades elementales”.

Estas propiedades elementales, partiendo de la situación 2 x 2 de las marcas y prescindiendo del posible valor 1 de la muesca horizontal,serían, entre otras posibles, las siguientes:
9 – 7 = 5 – 3 = 2; 3 + 9 = 5 + 7 = 12;
7 – 3 = 9 – 5 = (9 + 5) – (7+3) = 4.
Las interpretaciones de Ifrah no han podido ser demostradas aún.
En la placa de hueso de datación Auriñaciense encontrada en la ya citada Gorge d’Enfer, también se observan muescas en dos series transversales. En la primera hilera aparecen separadas 5, 6 y 5 marcas; en la otra, 4 y 6. Por tanto, y en la misma línea, habría que buscar correlaciones entre los números:

Hacia el registro del tiempo: la cota Marshack.
La Placa de Blanchard encontrada en Abri Blanchard (Francia).
Está datada hace más de 25.000 años (Auriñaciense), y en ella se encuentran 69 marcas que han sido analizadas al microscopio, en sus formas, profundidades y tamaños, por Alexander Marshack 27. Grattan-Guinness 28 asume la interpretación de Marshack, según la cual las incisiones en el hueso corresponderían al paso de la luna, día a día, por sus diferentes fases durante ese período de 69 días: llena, media, creciente y nueva.

Esta interpretación correspondería a la que denominamos la cota Marshack, por el autor que más lejos ha llevado las aptitudes matemáticas de nuestros antepasados paleolíticos.

Por otro lado, el hallazgo en la cueva de Tai (Francia) de otra placa de hueso, de unos 9 cm de longitud y datada hace unos 12.000 años, con casi 2.000 incisiones en su superficie desarrolladas en diferentes filas (algunas incompletas), en algunos casos con agrupaciones de unas 29 marcas, ha llevado a Marshack a conjeturar que podría tratarse del registro de los días de diferentes años sucesivos. Se trataría, por tanto, del calendario solar más antiguo conocido 29. Aunque será difícil descubrir realmente por qué su autor las realizó, el carácter no decorativo de las marcas podría apoyar la hipótesis del registro cuantitativo frente a interpretaciones meramente artísticas.

Placa de blanchard

Contabilidad en el Paleolítico africano: la conjetura Zaslavsky
Ahora bien, nuestros antepasados no desarrollaron estas habilidades solamente en Europa, y los pre-historiadores, aunque sigan imbuidos del usual etnocentrismo cultural occidental, ya no pueden estudiar únicamente las manifestaciones simbólicas descubiertas entre los Urales y la cornisa cantábrica.

Las piezas de ocre de la Cueva de Blombos que veíamos antes han llevado a autores como d’Errico et al. 30 a concluir que “las habilidades cognitivas modernas surgieron gradualmente en África en conjunción con los cambios biológicos que marcan el origen de nuestra especie”. De hecho, los diseños abstractos grabados de Blombos pueden considerarse entre las primeras manifestaciones de esa habilidad cognitiva que supone registrar conceptos con la ayuda de elementos materiales.
La comunidad científica internacional tiene asumido que en África comenzaron a utilizarse instrumentos para contar desde hace 37.000 años 31. De entre estas piezas destaca el Hueso de Lebombo; un peroné de babuino con 29 incisiones paralelas hallado, junto con otros trozos de madera y hueso grabados, en la Cueva de Border, en las montañas Lebombo entre Sudáfrica y Swazilandia 32, y que podría ser más antiguo 33. El hueso está fracturado, y no se sabe si originalmente tenía 29 ó 30 muescas (en el hueso completo no cabrían más incisiones); pero, en cualquier caso, es plausible su relación con el cómputo de días del mes lunar.

Hueso de Lebombo

En la frontera entre la República Democrática del Congo y Uganda, a las orillas del Lago Edward (una de las fuentes del Nilo), hace más de 8.500 años vivió durante unos pocos siglos una comunidad de pescadores y recolectores, cuyo hábitat quedó posteriormente enterrado por una erupción volcánica. Aunque por las fechas el asentamiento correspondería ya al período Mesolítico, Brooks et al. 34 retrasan su antigüedad hasta hace 25.000 años, ya sí propiamente Paleolítico Superior.
Entre los restos que se han encontrado de este grupo 35, destaca un hueso de 10,2 cm de largo (figura 10), con una pieza de cuarzo insertada en uno de los extremos (quizá para poder dibujar marcas sobre piedra con ella), conocido como Hueso de Ishango, expuesto en una instalación monográfica destacada y contextualizada en el Museum des Sciences Naturelles de Bruselas.

Hueso de Ishango


• Tiene 168 incisiones transversales dispuestas en diferentes agrupaciones, separadas entre sí, a lo largo de tres columnas.
• Desarrollando en el plano la superficie cilíndrica del hueso, en la primera columna de la izquierda vemos 11, 13, 17 y 19 muescas.
• En la columna central aparecen 3, 6, 4, 8, 10, 5, 5 y 7 marcas.
• En la columna de la derecha observamos 11, 21, 19 y 9 muescas.
Esta última, según De Heinzelin 36, proporcionaría indicios del primer uso de un sistema de numeración de base diez, pues las agrupaciones son de 11 (=10+1), 21 (=20+1), 19 (=20-1), y 9 (=10-1).
• Las marcas de la tercera columna suman 60, igual que las de la izquierda, en la que encontramos cantidades de muescas que se corresponden con los cuatro números primos entre 10 y 20 (11, 13, 17 y 19).
• Se ha creído encontrar en la columna central una posible ilustración del método de duplicación (usual en la matemática egipcia miles de años más tarde), pues junto a las 3 primeras muescas aparecen 6 (=3 x 2); a continuación de las siguientes 4 vemos 8 (=4 x 2); y tras las 10 (= 5 + 5) que siguen aparecen 5, 5 y 7 trazos.
• La suma de las marcas en las tres columnas (respectivamente, 60, 48 y 60) es siempre múltiplo de 12, Marshack aventuraba que podría contener la tabla de números primos más antigua conservada, y que el autor pretendía representar un calendario lunar de seis meses.
• Zaslavsky incluso llegó a conjeturar que podría tratarse del recuento de ciclos menstruales, por lo que el hueso sería obra de una mujer, preguntándose si no serían mujeres las primeras matemáticas de la historia.

Bramadera de la Roche


La placa ovoide de hueso de unos 15 centímetros de largo (figura 11), catalogada como bramadera o churinga, encontrada en la Cueva de la Roche (Lalinde, Francia), perteneciente al Magdaleniense Superior (hace 13.500-12.000 años), y depositada en el Musée des Antiquités Nationales de Saint-Germain-en-Laye de París (Francia). Parece un instrumento musical destinado a zumbar al girarlo con una cuerda, por la disposición rítmica de sus marcas.


El arte mobiliar en la región franco-cantábrica (desde el Périgord hasta Asturias), proporciona piezas extraordinarias que merecerían ser consideradas en todo un tratado acerca de la prehistoria de la matemática.
En el arte rupestre:
• Se buscan figuras animales y humanas
• Se estudia la decoración considerada geométrica
• La interpretación de las marcas (muescas, incisiones)
Dos son los grandes modos de plasmación de los temas del arte mobiliar, la figurativa (por las figuras representadas, en general de animales), y la no figurativa o abstracta.
Esta última se encuentra desde el Gravetiense al Aziliense, con un momento de esplendor en el Magdaleniense final.

El problema de interpretar el significado del arte paleolítico es complejo, pues no resulta fácil acercarse a la mente de sus autores, ni discernir los códigos gráficos que empleaban.
Lo que sí parece admitido es que eran unos códigos comunes que se referían a unos mismos conceptos desde los Urales hasta la Península Ibérica, prácticamente un lenguaje común.

También existen numerosas piezas con series de 12 y 13 incisiones. Y es que no debemos olvidar que un año (astronómico, cinegético) tiene una duración de 365 días y 1/4, es decir, algo más de 12 meses lunares (29,5×12=354) y algo menos de 13 lunaciones (29,5×13=383,5); mientras que, atendiendo al otro período cíclico destacado (el menstrual), 28×13=364, es decir, prácticamente un año.

El Colgante de Enfer , de unos 30.000 años, encontrado en Gorge d’Enfer (Dordogne, Francia) junto con la varilla que describíamos antes , presenta muescas en paralelo en sus bordes, que se interrumpen por la rotura de la pieza tanto en la cabeza de colgadura como en la parte inferior. La pieza completa podría presentar unas 60 incisiones.

Colgante de Enfer

El Colgante de Morín (Cantabria), realizado en piedra y de sección oval, pertenece al Gravetiense (Auriñaciense superior), y está roto en la parte correspondiente a la perforación. Con unas dimensiones de 9 mm x 40 mm, está grabado con una serie armónica de ±30 muescas transversales en paralelo, contorneando el objeto.

Colgante de Morín

Colgante de Garma

Los hallazgos arqueológicos en la región cantábrica, desde el Gravetiense y a lo largo del Magdaleniense:
• Numerosas piezas, que han sido perforadas para ser ensartadas en colgantes, presentan decoración mediante incisiones cortas, horizontales y paralelas, del mismo tipo que los historiadores de la matemática consideran manifestaciones primigenias de registro contable.

Colgantes de Las Caldas

• En la mayoría de los casos, el análisis de la decoración permite contar ±30 muescas. Normalmente (en los caninos y las piezas pequeñas de hueso) en agrupaciones conjuntas; pero también (en piezas más grandes) en colecciones de 15+15.
• Nuevas valoraciones deben seguir corroborando y/o matizando el modelo de notaciones lunares planteado por Marshack.
• Debe trascenderse la interpretación clásica de la notación simbólica de las piezas destacadas como, simplemente, “marcas de caza” .

Los Colgantes de Las Caldas (Solutrense superior), proceden de la cueva de Las Caldas (Asturias).

Colgantes de Altamira

Altamira: culminación en el registro mobiliar del pensamiento matemático.

“Referencias de imágenes”: es.wikipedia.org

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