0-PARTES DE LAS MATEMÁTICAS

En esta página vamos a de desarrollar las partes de las matemáticas, que luego ubicaremos en el siglo correspondiente a su descubrimiento, y su aplicación al mundo del arte

En este desarrollo influyeron muchos matemáticos pero quiero hacer mención especial a mi favorito, no solo por las cosas que aportó, sino porque sus habilidades le llevaron a ser uno de los más importantes junto a Arquímides, Newton y leibniz. Los cuatro marcaron el cambio de rumbo de la historia con sus aportaciones, cada uno en su época.

Carl Friedrich Gauss. Procede de una familia humilde pero sus aptitudes matemáticas ya sorprendían a su profesor a los 10 años, observando que para sumar los 60 primeros números no era necesario ir haciendo 60 sumas.

En cuestión de minutos pudo ver que 1+60=2+59=3+56=4+56….. y pensó “61·30=1830 me da lo mismo que la suma”.

A los 30 años era Catedrático y director del Observatorio de Gotinga en Alemania.

ARITMÉTICA: literalmente es el arte de contar. Se dedica al estudio de los números y sus propiedades bajo las operaciones de suma, resta, multiplicación y división. Procede del griego (arithmós) que significa número y technH que se refiere a un arte o habilidad.

ALGEBRA: rama de las matemáticas en la que se usan letras para representar relaciones aritméticas. Al igual que en la aritmética, las operaciones fundamentales del álgebra son adición, sustracción, multiplicación, división y cálculo de raíces.

La aritmética, sin embargo, no es capaz de generalizar las relaciones matemáticas, como el teorema de Pitágoras, que dice que en un triángulo rectángulo el área del cuadrado de lado la hipotenusa es igual a la suma de las áreas de los cuadrados de lado los catetos.

La aritmética sólo da casos particulares de esta relación (por ejemplo, 3, 4 y 5, ya que 32 + 42 = 52). El álgebra, por el contrario, puede dar una generalización que cumple las condiciones del teorema:LA SUMA DE LOS CUADRADOS DE LOS CATETOS ES IGUAL AL CUADRADO DE LA HIPOTENUSA.

Un número multiplicado por sí mismo se denomina cuadrado, y se representa con el superíndice 2.

El álgebra clásica, que se ocupa de resolver ecuaciones, utiliza símbolos en vez de números específicos y operaciones aritméticas para determinar cómo usar dichos símbolos. El álgebra moderna ha evolucionado desde el álgebra clásica al poner más atención en las estructuras matemáticas. Los matemáticos consideran al álgebra moderna como un conjunto de objetos con reglas que los conectan o relacionan. Así, en su forma más general, una buena definición de álgebra es la que dice que el álgebra es el idioma de las matemáticas.

Francesco de Mura (1696-1782) Alegoría a las artes liberales en el museo de Louvre
Con la mano izquierda hace geometría, con la derecha aritmética, la astronomía detrás y también presentes la música y las artes plásticas.

GEOMETRÍA DESCRIPTIVA PRIMITIVA El origen del término geometría es una descripción precisa del trabajo de los primeros geómetras, que se interesaban en problemas como la medida del tamaño de los campos o el trazado de ángulos rectos para las esquinas de los edificios.

Este tipo de geometría empírica, que floreció en el Antiguo Egipto, Sumeria y Babilonia, fue refinado y sistematizado por los griegos. En el siglo VI a.C. el matemático Pitágoras colocó la piedra angular de la geometría científica al demostrar que las diversas leyes arbitrarias e inconexas de la geometría empírica se pueden deducir como conclusiones lógicas de un número limitado de axiomas, o postulados.

Estos postulados fueron considerados por Pitágoras y sus discípulos como verdades evidentes; sin embargo, en el pensamiento matemático moderno se consideran como un conjunto de supuestos útiles pero arbitrarios.

Un ejemplo típico de los postulados desarrollados y aceptados por los matemáticos griegos es la siguiente afirmación “una línea recta es la distancia más corta entre dos puntos”.

Un conjunto de teoremas sobre las propiedades de puntos, líneas, ángulos y planos se puede deducir lógicamente a partir de estos axiomas:
• “la suma de los ángulos de cualquier triángulo es igual a la suma de dos ángulos rectos”
• “el cuadrado de la hipotenusa de un triángulo rectángulo es igual a la suma de los cuadrados de los otros dos lados” (conocido como teorema de Pitágoras).
La geometría demostrativa de los griegos, que se ocupaba de polígonos y círculos y de sus correspondientes figuras tridimensionales, fue mostrada rigurosamente por el matemático griego Euclides, en su libro Los elementos. El texto de Euclides, a pesar de sus imperfecciones, ha servido como libro de texto básico de geometría hasta casi nuestros días

GEOMETRÍA ANALÍTICA. La geometría avanzó muy poco desde el final de la era griega hasta la edad media. El siguiente paso importante en esta ciencia lo dio el filósofo y matemático francés René Descartes, cuyo tratado El Discurso del Método, publicado en 1637, hizo época. Este trabajo fraguó una conexión entre la geometría y el álgebra al demostrar cómo aplicar los métodos de una disciplina en la otra. Éste es un fundamento de la geometría analítica, en la que las figuras se representan mediante expresiones algebraicas, sujeto subyacente en la mayor parte de la geometría moderna.

Otro desarrollo importante del siglo XVII fue la investigación de las propiedades de las figuras geométricas que no varían cuando las figuras son proyectadas de un plano a otro.

La geometría sufrió un cambio radical de dirección en el siglo XIX. Los matemáticos Carl Friedrich Gauss, Nikolái Lobachevski, y János Bolyai, trabajando por separado, desarrollaron sistemas coherentes de geometría no euclídea. Estos sistemas aparecieron a partir de los trabajos sobre el llamado “postulado paralelo” de Euclides, al proponer alternativas que generan modelos extraños y no intuitivos de espacio, aunque, eso sí, coherentes.

Casi al mismo tiempo, el matemático británico Arthur Cayley desarrolló la geometría para espacios con más de tres dimensiones. Imaginemos que una línea es un espacio unidimensional. Si cada uno de los puntos de la línea se sustituye por una línea perpendicular a ella, se crea un plano, o espacio bidimensional. De la misma manera, si cada punto del plano se sustituye por una línea perpendicular a él, se genera un espacio tridimensional. Yendo más lejos, si cada punto del espacio tridimensional se sustituye por una línea perpendicular, tendremos un espacio tetradimensional.

Aunque éste es físicamente imposible, e inimaginable, es conceptualmente sólido. El uso de conceptos con más de tres dimensiones tiene un importante número de aplicaciones en las ciencias físicas, en particular en el desarrollo de teorías de la relatividad.
Einstein demuestra con estas 4 coordenadas que a medida que la velocidad tiende a la de la luz, el tiempo tiende a cero.

Tenemos: línea, plano, espacio tridimensional. En el espacio de cuatro dimensiones y cinco las propiedades algebraicas y las estructuras son las mismas.

Otro concepto dimensional, el de dimensiones fraccionarias, apareció en el siglo XIX.

También se han utilizado métodos analíticos para estudiar las figuras geométricas regulares en cuatro o más dimensiones y compararlas con figuras similares en tres o menos dimensiones.

Esta geometría se conoce como geometría estructural. Un ejemplo sencillo de este enfoque de la geometría es la definición de la figura geométrica más sencilla que se puede dibujar en espacios con cero, una, dos, tres, cuatro o más dimensiones.

En la geometría analítica las líneas rectas, las curvas y las figuras geométricas se representan mediante expresiones algebraicas y numéricas usando un conjunto de ejes y coordenadas. Cualquier punto del plano se puede localizar con respecto a un par de ejes perpendiculares dando las distancias del punto a cada uno de los ejes.

En un espacio tridimensional, los puntos se pueden localizar de manera similar utilizando tres ejes, el tercero de los cuales, normalmente llamado z, es perpendicular a los otros dos en el punto de intersección, también llamado origen.

El segundo tipo de problema es: dada una expresión algebraica, describir en términos geométricos el lugar geométrico de los puntos que cumplen dicha expresión. Por ejemplo, una circunferencia de radio 3 y con su centro en el origen es el lugar geométrico de los puntos que satisfacen:

Usando ecuaciones como éstas, es posible resolver algebraicamente esos problemas geométricos de construcción, como:
• la bisección de un ángulo o de una recta dados
• encontrar la perpendicular a una recta que pasa por cierto punto
• dibujar una circunferencia que pasa por tres puntos dados que no estén en línea recta.
La geometría analítica ha tenido gran importancia en el desarrollo de las matemáticas pues ha unificado los conceptos de análisis (relaciones numéricas) y geometría (relaciones espaciales).

El estudio de la geometría no Euclídea y de las geometrías de espacios con más de tres dimensiones no habría sido posible sin un tratamiento analítico. Del mismo modo, las técnicas de la geometría analítica, que hacen posible la representación de números y expresiones algebraicas en términos geométricos, han ayudado al cálculo, la teoría de funciones y otros problemas de las matemáticas avanzadas.

GEOMETRÍA FRACTAL. En la década de 1970 se desarrolla esta nueva geometría. Consiste fraccionar un segmento repetivamente como muestra la figura.

Este desarrollo aparece en el crecimiento de algunas plantas. Con ayuda de ordenadores se pueden conseguir estructuras muy variadas como se muestra en la figura.

ANÁLISIS MATEMÁTICO: rama de las matemáticas que se encarga del estudio de las funciones.

ANÁLISIS DIFERENCIAL: rama de las matemáticas que se encarga del estudio de las funciones, sus aplicaciones a las diversas ciencias económicas, ingenieras, los límites, las derivadas, las gráficas y sus propiedades.

ANÁLISIS INTEGRAL: estudia las integrales de las funciones y sus aplicaciones.
Mostramos un ejemplo de área con aristas curvas y un volumen que se calcula con ayuda de las integrales.

INTEGRAL:este concepto se debe a Jacques Bernoulli. En un principio Leibniz llamó a las dos ramas del cálculo que había inventado calculus differentialis (las tangentes las obtenía estudiando el comportamiento de pequeñas diferencias de las variables) y calculus summatorius (las áreas de superficies las obtenía mediante sumas de pequeñas áreas). Después Johann Bernoulli le sugirió que sería mejor llamar a este último calculus integralis, cosa con la Leibniz se mostró de acuerdo. El primero en usarlo fue su hermano Jacques, aunque Johann decía que el término se debía a él mismo.

El signo se debe a Leibniz, matemático Aleman. Con las integrales definidas podemos hacer los cálculos de áreasencerradas por funciones o volúmenes, entre otras múltiples aplicaciones.

En sucesivos apartados trataremos la evolución de los conceptos e ideas matemáticas siguiendo su desarrollo histórico.

TOPOLOGÍA: estudia las propiedades de los cuerpos geométricos que permanecen inalteradas por transformaciones continuas. Estudia conceptos como, “proximidad”, “número de agujeros”, el tipo de consistencia (o textura) que presenta un objeto.

ESTADÍSTICA: trata la obtención de información a partir de los datos. Se encarga de la recolección, representación, análisis, interpretación y aplicaciones de datos numéricos a través de un conjunto de técnicas con rigor científico. Cuando tales datos dependen del azar.

Utiliza métodos como la teoría de la probabilidad. Es una de las partes más modernas y de gran influencia en la economía. No se lanza ningún producto sin hacer una encuesta.

ESTADÍSTICA DESCRIPTVA: rama de la estadística que se dedica a encontrar formas de representar información numérica de una forma comprensible y útil en forma de tablas, gráficas y diagramas para extraer de ellas información sobre los datos.

ESTADÍSTICA DIFERENCIAL: rama de la estadística que se dedica a estimar valores descriptivos de la población a partir de la información que se tiene de una muestra de la misma usando algunos parámetros conocidos como estadísticos (media, desviación estándar, etc.)

MATEMÁTICAS PURAS
Estudio de las matemáticas, su teoría, estructura, métodos y procedimientos, con el fin de incrementar el conocimiento matemático. En este caso, las aplicaciones de las matemáticas no se tienen en cuenta, aunque generalmente lo que se descubre en las matemáticas puras puede ser utilizado en otras ramas de la ciencia como la física.
Con las matemáticas estudiamos las relaciones entre cantidades, magnitudes y propiedades, y de las operaciones lógicas utilizadas para deducir cantidades, magnitudes y propiedades desconocidas.
En el pasado las matemáticas eran consideradas como la ciencia de la cantidad, referida a las magnitudes (como en la geometría), a los números (como en la aritmética), o a la generalización de ambos (como en el álgebra).

Hacia mediados del siglo XIX las matemáticas se empezaron a considerar como la ciencia de las relaciones, o como la ciencia que produce condiciones necesarias. Esta última noción abarca la lógica matemática o simbólica, ciencia que consiste en utilizar símbolos para generar una teoría exacta de deducción e inferencia lógica basada en definiciones, axiomas, postulados y reglas que transforman elementos primitivos en relaciones y teoremas más complejos.

MATEMÁTICAS APLICADAS

El estudio de las técnicas y métodos de las matemáticas para la resolución de problemas que se presentan en los sistemas creados por la sociedad y en el estudio de la naturaleza (económicos, industriales, ecológicos, etc.)

En realidad, las matemáticas son tan antiguas como la propia humanidad: en los diseños prehistóricos de cerámica, tejidos y en las pinturas rupestres se pueden encontrar evidencias del sentido geométrico y del interés en figuras geométricas. Los sistemas de cálculo primitivos estaban basados, seguramente, en el uso de los dedos de una o dos manos, lo que resulta evidente por la gran abundancia de sistemas numéricos en los que las bases son los números 5 y 10.

Los Babilónicos utilizaban 60 signos, de ellos heredamos la forma de contar el tiempo, en donde un grado son 60 minutos y un minuto 60 segundos. Sistema sexagesimal.
Otras culturas contaban por docenas, debido a que utilizaban las rayas de los dedos, excluyendo el pulgar. En alguna tribu africana se sigue utilizando. Nosotros contamos por docenas los huevos y otros elementos. Todo esto lo desarrollamos en los capítulos siguientes.

“Referencias de algunas imágenes”:
es.wikipedia.org
http://sketchuptips.com/cursosketchup/geometria-descriptiva

Una respuesta a 0-PARTES DE LAS MATEMÁTICAS

  1. anayeli dijo:

    esta pagina es lo máximo felicito ala persona que lo hizo

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