TEOREMAS DE CONTINUIDAD

TEOREMA DE ROLLE

  • Que la función f(x) sea continua en el intervalo x  perteneciente al intervalo  cerrado[a,b].
  • Que la función f(x) sea derivable en el intervalo x  perteneciente al intervalo abierto (a,b).
  • f(a)=f(b)

Entonces se garantiza que existe un valor c del intervalo abierto (a,b) en el que se anula la derivada. f'(c)=0.

 

rolle

TEOREMA DE LAGRANGE O VALOR MEDIO

  • Que la función f(x) sea continua en el intervalo x  perteneciente al intervalo  cerrado[a,b].
  • Que la función f(x) sea derivable en el intervalo x  perteneciente al intervalo abierto (a,b).

Entonces existe un punto c del intervalo (a,b) en el que la recta tangente a la curva es paralela a la cuerda que pasa por (a,f(a)) y (b, f(b)).

Para calcularlo igualamos la derivada a la pendiente de la cuerda.

lagrange

lagrange-imagen

 

TEOREMA DE BOLZANO

  • Que la función f(x) sea continua en el intervalo x  perteneciente al intervalo  cerrado[a,b].
  • Que la función f(x) sea derivable en el intervalo x  perteneciente al intervalo abierto (a,b).
  • El signo de f(a) es distinto del singo de f(b).

Entonces existe al menos  un punto c del intervalo (a,b) en el que f(c)=0 y este puno es un corte con el eje de abscisas.

El punto es único si la función es creciente en el intervalo o decreciente.

bolzano

 

TEOREMA DE TAYLOR

Toda función no polinómica se puede aproximar por una polinómica y la proximidad es mayor a medida que aumentamos el grado del polinomio, según la fórmula:

Taylor

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