ESTUDIO Y REPRESENTACIÓN FUNCIONES

Para realizar el estudio y representación de funciones de variable real, tendremos que estudiar los siguientes apartados:

1.- DOMINO DE DEFINICIÓN.

  • Polinómicas y radicales de grado impar: su dominio es todo el conjunto de los números reales, R.
  • Racionales: su dominio es el conjunto de los números reales, R, excepto aquellos valores que anulen el denominador.
  • Irracionales (radicales) de grado par: el dominio serán los intervalos de la recta real que verifiquen que el radicando es mayor o igual que cero
  • Logarítmicas: el dominio son todos aquellos valores que hagan el argumento del logaritmo ESTRICTAMENTE mayor que cero.
  • Exponenciales: su domino coincide con el dominio del exponente.
  • Seno y coseno: su dominio coincide con el dominio del argumento.
  • Tangente: tener en cuenta que se trata de una función racional, cuyo denominador es el coseno.

CUANDO UNA FUNCIÓN SEA COMPUESTA, HEMOS DE COMBINAR LAS CONDICIONES ANTERIORES

2.- PUNTOS DE CORTE DE LA FUNCIÓN CON LOS EJES.

  • Puntos de corte con el eje OX: haremos y=0 y resolveremos la ecuación resultante.
  • Puntos de corte con el eje OY: haremos x=0 y calcularemos explícitamente el valor de y. Puede salir como mucho un único punto de corte de la función con este eje.

3.- SIMETRÍAS.

  • Diremos que una función es simétrica PAR (o sea, simétrica respecto al eje vertical) si se verifica que f(x)=f(-x).

funcion par

 

  • Diremos que una función es simétrica IMPAR (o sea, simétrica respecto al origen de coordenadas) si se verifica que f(-x)=-f(x).

impar

4.- ASÍNTOTAS.

Existen tres tipos de asíntotas, las verticales, las horizontales y las oblicuas, que se calculan cada una de diferente manera. A la hora de representarlas, hay que tener en cuenta que las asíntotas me dan una idea del comportamiento “en el límite” de la función: es decir, las funciones se “aproximan” a las asíntotas, pudiendo incluso llegar a cortarlas. Para calcularlas:

  1. Asíntotas verticales:       def vertical

donde x0 son los valores que han quedado fuera del  dominio de definición. (En general, en las funciones racionales bastará igualar el denominador a 0 para calcular la asíntota). La ecuación de la asíntota será x=x0

2- Asíntotas horizontales: def horizonta , con k, número real. La ecuación de la asíntota será y=k

3.- Asíntotas oblicuas: son de la forma y=mx+n, donde

def obliculas

Algunos ejemplos de funciones con asíntotas:

123                                                                                 321

aintota vertical y olblicua   a vertical y horizonta

 

5.- MONOTONÍA. MÁXIMOS Y MÍNIMOS. INTERVALOS DE CRECIMIENTO Y DECRECIMIENTO.

Para calcular la monotonía de la función haremos un estudio de signos para la derivada. Para ello, tendremos que:

  • Calcular f ’(x) e igualarla a cero.
  • Resolver la ecuación anterior, obteniendo así los puntos críticos.
  • Hacer un estudio de signos de la derivada, en el que pondremos en la recta real los puntos críticos obtenidos anteriormente, además de los puntos que quedaban fueran del dominio.

CRITERIOS: 

  • Si f ’(x)>0 la función será creciente, y si f ’(x)<0 la función será decreciente.
  • Si en un punto crítico la función pasa de creciente a decreciente, tenemos un MÍNIMO
  • Si en un  punto crítico la función pasa de decreciente a creciente, tenemos un MÁXIMO

1234                             4321

6.- CURVATURA Y PUNTOS DE INFLEXIÓN. INTERVALOS DE CONCAVIDAD Y CONVEXIDAD

Para calcular la curvatura de la función haremos un estudio de signos ahora para la derivada segunda. Para ello, tendremos que:

  • Calcular f ’’(x) e igualarla a cero.
  • Resolver la ecuación anterior, obteniendo así los candidatos a puntos de inflexión.
  • Hacer un estudio de signos de la derivada segunda, en el que pondremos en la recta real los puntos candidatos a puntos de inflexión obtenidos anteriormente, además de los puntos que quedaban fueran del dominio.

CRITERIOS:

  • Si f’’(x)>0, la función es cóncava (U)
  • Si f’’(x)<0, la función es convexa (∩).
  • Cuando la función pase de cóncava a convexa o vicecersa, tendremos un punto de inflexión.

inflexion

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