EL NÚMERO ÁUREO

NÚMERO ÁUREO

ÍNDICE

Introducción

Existe un número que rige tanto la disposición de los pétalos de la rosa como las dimensiones de las obras de Le Corbusier, que se esconde entre las partituras de Debussy y tras la Mona Lisa de Leonardo Da Vinci, que define la dinámica de los agujeros negros y la estructura microscópica de algunos cristales.

Este número es el número de oro, también conocido como la proporción áurea o divina proporción, uno de los conceptos matemáticos que aparecen una y otra vez ligados a la naturaleza y el arte, compitiendo con PI en popularidad y aplicaciones.  Está ligado al denominado rectángulo de oro, a la sucesión de Fibonacci, y otros tantos polígonos geométricos. Aparece repetidamente en el estudio del crecimiento de las plantas, las piñas, la distribución de las hojas en un tallo, las alas de los insectos, la formación de caracolas… y por supuesto en cualquier estudio armónico del arte. Está representado por la letra griegafi en honor al arquitecto y escultor griego Fidias, quien lo reflejaría en sus creaciones como el Partenón de Atenas.

AUTORES-

EL NÚMERO ÁUREO

Este número irracional fue un hallazgo de los griegos de la época clásica y su historia documentada comienza en uno de los libros más célebres de la historia: los Elementos de Geometría de Euclides, escrito alrededor del 300 a.C.

El número áureo está compuesto por un número infinito de dígitos que además no siguen pauta alguna por lo que nos ayudamos de la notación aritmética para conocerlo:valor

Pero en realidad sería:

valor-- FIBO

Y estos son tan solo algunos de los primeros decimales de phi por lo que para evitar agobios y saturaciones,  vamos a ver de dónde procede este número y cómo podemos llegar a él.

Hay dos maneras de encontrarlo. Por un lado, veremos que se puede encontrar dentro de la sucesión de Fibonaci, y, por otro, emplearemos un método más práctico pero igualmente válido para llegar a él.

La sucesión de Fibonacci y el Número Áureo

El italiano Leonardo Pisano, verdadero nombre  de Fibonacci (que literalmente significa “hijo de Bonacci”) se dedicó durante su vida a recopilar y divulgar el conocimiento matemático de clásicos grecorromanos, árabes e indios durante su época y realizó aportaciones en los campos matemáticos del álgebra y la teoría de números. Sería además el encargado de introducir los números arábigos en Europa.

Escribió numerosas obras de geometría, álgebra y teoría de números y es en una de ellas, El libro del ábaco, donde podemos ver que se esconde la divina proporción, en un famoso problema sobre conejos que decía así:

¿Cuántas parejas de conejos tendremos a fin de año si comenzamos con una pareja que produce cada mes otra pareja que procrea a su vez a los dos meses de vida? 

Pues bien, para resolverlo, Fibonacci se sirvió de una tabla, donde desglosaba el crecimiento de la familia de conejos y hacía un seguimiento del número de parejas que había al acabar cada mes, tal como esta:

FIBONACCI

Pues bien, como se puede apreciar, la solución no es otra que la célebre Sucesión de Fibonacci, una sucesión de números en la que cada término es igual a la suma de los dos términos precedentes: 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, y así sucesivamente. Estos números de Fibonacci tienen interesantes propiedades y se utilizan mucho en matemáticas.FI--

Y entonces el interrogante que surge es qué tiene que ver todo esto con el número áureo y la respuesta es cuando menos sorprendente.

Si dividimos cada término de la sucesión entre el anterior, al principio parecerá que no sucede nada, pero conforme avancemos veremos que cada vez el cociente se aproxima cada vez más y más a 1,618 y ¿cuál es este número? En efecto, se trata de phi.

El Número Áureo a partir de una recta

Esta es otra manera algo más visual de llegar a phi y que ya fue propuesta por Euclides, uno de sus descubridores, en la Edad Antigua. Para ello desarrolló un método como explicamos a continuación.

En primer lugar se sirvió de una recta imaginaria, la cual dividió en dos segmentos (de extremos a y b) mediante un punto imaginario al que llamaremos c. La partición de ambos debería ser concreta, no aleatoria, y seguir una determinada proporción, denominada partición áurea. Esta debía seguir la siguiente norma: “La proporción entre el segmento mayor y la recta debía ser la misma que la existente entre el segmento menor y el mayor, es decir,

VALOR---

 La división de ambas longitudes, independientemente de la longitud de la recta escogida dará phi y de ahí su sobrenombre de “divina proporción” (apelativo adjudicado por el matemático italiano Luca Pacioli).

VALOR----

 Así pues ahora que ya hemos definido a phi y hemos visto cómo podemos llegar a él vamos a contemplar la cantidad de polígonos, cuerpos y fenómenos naturales y obras de arte en los que podemos encontrarlo.

vinci

Polígonos

El número áureo aparece en una ingente cantidad de polígonos y formas geométricas, muchas de las cuales nos rodean en nuestro día a día. En nuestro caso vamos a centrarnos en dos polígonos, el rectángulo y el pentágono, en los cuales podemos discernir a la vez y respectivamente otras formas como la espiral y el triángulo.

 El Rectángulo Áureo

tarjetas

Este polígono que a menudo pasa desapercibido a nuestros sentidos es muy fácil de encontrar sí, pero más fácil es aún darnos cuenta de si lo que vemos es un rectángulo áureo: basta con dividir la altura y la base y ver si el resultado se aproxima a 1,618. ¿Sí? Entonces es un rectángulo áureo.

carnet

Por otro lado, si queremos comparar dos rectángulos distintos y ver si cumplen la divina proporción basta con colocar uno sobre otro haciendo coincidir uno de sus vértices. Entonces, trazamos la diagonal y si coinciden casos es que son semejantes y por tanto si el primero era áureo, el segundo también lo será.

Ahora bien, ¿cómo se construye un rectángulo de estas características? Pues el método es muy sencillo y para ello debemos recordar el método práctico del segmento dividido en dos particiones áureas del apartado anterior.

Para ello tomamos cualquiera de los segmentos, pongamos como ejemplo el mayor (ac) como altura, y el menor (cb) como base.

rectángulo áureo

 

Así, en este dibujo ac sería a y cb sería b.

 

De esta manera ya tenemos lo que buscábamos pero además, a partir de él podemos obtener muchos más y de mayor tamaño de manera rápida y sencilla. Basta con dibujar al lado del rectángulo un cuadrado de lado la altura del primero y así sucesivamente, con lo que llegaríamos a una figura como la que se detalla a continuación:

rectangulo---

rectangulo-

Lo cual, si nos esforzamos en recordar, recuerda al diseño de las hojas que se utilizan actualmente en papelería: el formato DIN (A1, A2, A3, A4…). Si bien hemos de matizar que en ese caso se trata de rectángulos .

He aquí, como advertimos previamente, la aparición de una nueva figura: la espiral logarítmica, cuyo máximo admirador fue el célebre Jacob Bernoulli, pues lo que sucede si unimos sus vértices no difiere mucho de lo siguiente:

curva-

A pesar de que pueda parecer algo irrelevante, ambas formas están más presentes en nuestra vida cotidiana de lo que creemos. Basta con mirar en nuestra mochila para ver que muchos de nuestros libros son rectángulos áureos, que la cartera de nuestro bolsillo también lo es e incluso que los lados de las tarjetas de crédito y el DNI que contiene cumplen la divina proporción. (Dividid el lado mayor entre el menor y lo veréis).

paloma

En cuanto a la espiral, se encuentra en nuestros propios oídos y en la naturaleza sobre todo, pero ello lo abordaremos más tarde.

El Pentágono Áureo

pentagono

 

 

El pentágono es un polígono que fue descubierto por los asirios.

pentagono--

Para que un pentágono sea áureo en primer lugar debe tratarse de un pentágono regular y para construirlo, a parte de la utilización de la regla y el compás, existe un método mucho más fácil, innovador y dinámico si bien no sea tan preciso: a partir de una tira de papel. Esto quiere decir que basta con coger una tira de papel y hacerle un lazo o un nudo, resultando un pentágono regular cuyo lado es la anchura de la tira inicial.

Para comprobar que el pentágono obtenido cumple la divina proporción bastará entonces con dividir la diagonal y el lado del pentágono regular y, en efecto, al margen de las dimensiones del pentágono el resultado será .

pentagono---

Como se aprecia en la figura de la estrella, las diagonales del pentágono forman dos tipos de triángulos isósceles, unos como los coloreados en amarillo y otros los blancos. Pues bien, tanto en uno como en otro la relación entre el lado mayor y el lado menor es igual a phi. Por tanto, de nuevo, nos topamos con otro polígono “divino”: el Triángulo Áureo. Y es que el triángulo estará muy íntimamente relacionado con otras proposiciones como el archiconocido Teorema de Pitágoras, por ejemplo:

pitagoras

Sin embargo, en lugar de profundizar en un tema tan amplio y denso, vamos a terminar resaltando la figura que aparecía en el pentágono regular y que parece que ha pasado desapercibida a causa de nuestra “obsesión” por los triángulos: la estrella pentagonal.

pentagono-2A lo largo de la historia de la humanidad, siempre se ha tendido a relacionar las estrellas con esta forma, probablemente por su engañoso centelleo a causa de la atmósfera, y como hemos visto, tanto el pentágono como los triángulos isósceles de este símbolo son áureos.

A modo de anécdota cabe señalar que este símbolo, llamado pentalfa, fue el distintivo de los pitagóricos, una asociación secreta formada por científicos, y que lo utilizaban para identificarse. Para ellos la péntada, es decir el cinco, era el número de la armonía en la salud y en la belleza, pues suponía una equilibrada combinación del dos, el primer número par o “díada”, y el tres, el primer impar completo, la tríada. De ahí surgió la afirmación de Matila Ghyka, un profesor rumano de estética, “el pentalfa o pentagrama será, pues, a la vez, el símbolo del Amor creador y el de la Belleza viva, del equilibrio en la salud del cuerpo humano”. Una coincidencia, ¿os habéis dado cuenta cuantas líneas tiene un cuaderno de música o PENTAGRAMA?

Naturaleza

Como bien hemos visto ya, la proporción aurea o numero de oro se ve reflejada en innumerables casos, pues en la naturaleza no se le hace de menos y aparece en el crecimiento de las plantas en general, dimensiones de insectos, la formación de caracolas, etc. Los cuales iremos viendo más detalladamente una por una.

La naturaleza ha desarrollado reglas que están enmarcadas dentro de la magia de las relaciones matemáticas, que la ayudan a optimizar sus esfuerzos y mejorar sus condiciones.

abejas

En primer lugar, al igual que la cantidad de conejos que habrá en un determinado tiempo, la sucesión de Fibonacci da lugar a la relación entre la cantidad de abejas macho y abejas hembra en un panal, además del número de descendientes en cada generación de una abeja macho o zángano.

conejos

Como bien comentamos anteriormente, dicha sucesión es una sucesión de números en la que cada término es igual a la suma de los dos términos precedentes y la división de cada término de la sucesión entre el anterior, a medida que se va aumentando el número, se aproximara a nuestra proporción de oro, phi.

flores

En la botánica el papel que juega el número áureo es tan grande que se lo conoce como “Ley de Ludwig” y demuestra:

  • La disposición de los pétalos de las flores
  • La distribución de las hojas en un tallo.
  • La relación entre las nervaduras de las hojas de los árboles.
  • La relación entre el grosor de las ramas principales y el tronco, o entre las ramas principales y las secundarias donde el grosor de una equivale a Φ.
  • La distancia entre las espirales de una piña.

 flores--

El ángulo de oro (137,5°), está directamente relacionado con la divina proporción, el cual permite que las plantas distribuyan eficazmente su hojas y estas cumplen un patrón en espiral ascendente sobre el tallo.

De esta manera aprovecha mejor la luz del sol y se construye una forma en equilibrio, que está en correlación con la disposición de las hojas y ramas de una planta o árbol. Para que las hojas esparcidas de una planta (Ver Filotaxis) o las ramas alrededor del tronco tengan el máximo de insolación con la mínima interferencia entre ellas, éstas deben crecer separadas en hélice ascendente según un ángulo constante y teóricamente igual a 137º 30′ 27,950…” pero se medirá un ángulo práctico de 137º 30′. Sin embargo, no todas las plantas se benefician con un máximo de exposición solar o a la lluvia, por lo que se observan otros ángulos constantes diferentes del ideal de 137ª 30′ En la siguiente imagen lo veremos:

angulo

 También aparece en relación a los insectos: las alas de algunos de ellos y las telas de araña que tienen forma geométrica.insecto

Luego, se manifiesta en la relación entre la distancia de las espiras del interior de cualquier caracol o cefalópodo como el Nautilus. Hay por lo menos tres espirales logarítmicas más o menos asimilables a proporciones áureas. La primera de ellas se caracteriza por la relación constante igual al número áureo. Muchas conchas siguen este tipo de espiral de crecimiento

 conchaconcha-2

A su vez, define el crecimiento de los cuernos de muchos animales como los rumiantes.

Podemos encontrarlo además en fenómenos a mayor escala:

  • Diversos huracanes (izquierda).
  • Rige las dimensiones y formas de las galaxias que contienen billones de estrellas.
  • Define la dinámica de los agujeros negros.
  • agujero

Por último, observamos también que en el ser humano hay dicha proporción no haciendo falta ser perfecto. Este número lo encontramos en las partes pequeñas de nuestro cuerpo como por ejemplo en las orejas, en la cara, brazos, etc.

oreja

Con todo nuestro cuerpo, relacionamos nuestra altura total y la del ombligo hasta la planta de los pies y entonces es ahí donde encontramos el número de la proporción divina

 

Como curiosidades, hemos encontrado unas noticias interesantes de dónde han llegado a encontrar el número áureo:

 

–          “Un ginecólogo belga encuentra por primera vez la «divina proporción» en las entrañas de las mujeres que están en su edad más fértil.

hombreAsegura que existe una relación entre ese número considerado por algunos casi místico y el sexo femenino. El investigador sugiere que cuando las mujeres son más fértiles, entre los 16 y los 20 años, las dimensiones del útero se acercan a 1,6, una aproximación muy cercana al número áureo, según publica el diario británico The Guardian en su edición online.” ABC

feto

–          Creyendo que la proporción áurea ayudará a crear diseños estéticamente más agradables, muchos creativos han optado por aplicar esta relación a la construcción de sus logotipos como Toyota, Pepsi o twitter.

imagen

En el arte

A lo largo del tiempo los artistas han buscado una forma de proporción perfecta. Existe una fórmula eficaz, que permite dividir el espacio para lograr un efecto estético agradable. Esta teoría se denomina “La regla Áurea” empleando así el número áureo en sus obras.

 Pintura

Empecemos por ejemplo con Leonardo Da Vinci y su obra más famosa, La Mona Lisa.

Leonardo Da Vinci utilizó las proporciones del rectángulo áureo para plasmarlas sobre la cara de la Mona Lisa.

Pero Leonardo no solo las utilizó en la cara de la Mona Lisa, también la utilizó en muchas otras obras representando la belleza de la proporción áurea sobre el cuerpo humano. Unas proporciones armoniosas para el cuerpo, que estudiaron antes los griegos y romanos, las plasmó en este dibujo Leonardo da Vinci. Sirvió para ilustrar el libro La Divina Proporción de Luca Pacioli. Resulta que el cociente entre la altura del hombre (lado del cuadrado) y la distancia del ombligo a la punta de la mano (radio de la circunferencia) es el número áureo.


Otra de los esquemas más seguidos en arte es el de la estrella áurea que forma en su interior un pentágono regular como se observa en el cuadro de “La sagrada familia” de Miguel Ángel.

En España el número áureo fue utilizado por ejemplo por Velázquez en una de sus obras más conocidas las Meninas.


Muchos artistas de la actualidad aún siguen escondiendo la curiosa proporción divina en muchos de sus cuadros, fotografía… Como en el caso de Cartier-Bresson en la que como vemos en la imagen, utiliza la espiral de Durero para dar un efecto armonioso y enrevesado a su fotografía titulada “Blanco y Negro”, o como Dalí que usó numerosos rectángulos áureos.

5.2. Arquitectura


La primera aparición del número de oro en la arquitectura fue construida hacia el año 2600 a.C. en la pirámide de Keops. El número de oro aparece, no una vez sino hasta tres veces en relaciones numéricas entre distintos elementos de la pirámide. Así la razón entre la altura de una cara y la mitad del lado de la base es 1’618…, es decir, el número de oro. Pero no acaban aquí las sorpresas, el cociente entre el área total y el área lateral de la pirámide es también el número de oro. Y por si fuera poco, el cociente entre el área lateral y el área de la base sigue siendo el número áureo.

Este número nos deparará muchas más sorpresas. Porque también los griegos lo utilizaron en la simetría del Partenón que contiene rectángulos que se basan en el número de oro. Con respecto al Partenón, las fachadas son un rectángulo áureo. A pesar de tener forma convexa, mantiene la relación áurea por sus diagonales, que siguen siendo las de un rectángulo áureo.

Pero no solo se han encontrado las proporciones áureas en la arquitectura de épocas pasadas, sino que Nôtre Damme también posee las características del número Fi que le hace más armoniosa al poseer numerosos rectángulos áureos, en los cuales si dividimos la altura entre la base da como resultado Fi. También en París la famosa Torre Eiffel contiene el número de oro en la división entre los segmentos que dividen los diferentes pisos tal y como muestra la imagen.

Otros edificios más modernos también han utilizado dicho número como por ejemplo una de las espirales de Durero más originales y actuales es la de las escaleras del Vaticano que aparecen en la imagen. Esto también demuestra que hoy en día también hay estructuras que se basan en el número áureo.

Y por último, también encontramos las proporciones del rectángulo áureo y sus secciones en el Edificio de la O.N.U en Nueva York.


1.1.            Escultura


En escultura el número fi está asociado a la divina proporción en el cuerpo humano y era muy utilizado por griegos y romanos para aportar naturalidad a la figura. Por ejemplo en esta imagen se observa que la escultura que nos resulta más natural es la que coincide con las proporciones áureas y que coincide con la original.

Otra de las esculturas más destacadas y que sigue las proporciones del número áureo es la Venus de Milo.

 

Bibliografía

 

<  V.V.A.A. Enciclopedia Encarta: Biblioteca de consulta Microsoft; Microsoft Corporation, 2005.

 

<  V.V.A.A. La Enciclopedia del Estudiante vol.15 y l6 Matemáticas I y II; Madrid; editorial Santillana, 2005.

 

<  Corbalán, Fernando; La proporción áurea; España; RBA; 2010

 

http://blogs.vandal.net

 

http://www.slideshare.net/

 

http://bsgradio.com.ar/archivos/2144

 

Deja un comentario

Tu dirección de correo electrónico no será publicada. Los campos necesarios están marcados *

Puedes usar las siguientes etiquetas y atributos HTML: <a href="" title=""> <abbr title=""> <acronym title=""> <b> <blockquote cite=""> <cite> <code> <del datetime=""> <em> <i> <q cite=""> <s> <strike> <strong>